El área de una figura plana es el número de unidades cuadradas que pueden acomodarse de manera que llenen la figura completamente.
Área de un rectángulo. El área de un rectángulo de base b y altura h está dada por la fórmula bh. En un rectángulo, cualquier lado puede llamarse base.
En el caso de un paralelogramo, también cualquier lado puede ser la base. Sin embargo, la altura de un paralelogramo no es necesariamente un lado. Más bien, la altura es la longitud de cualquier segmento con extremo en el lado opuesto a la base y perpendicular a dicha base.
Como las áreas del rectángulo y del paralelogramo son iguales, el área del paralelogramo es base × altura. Esto puede resumirse como sigue:
Área de un paralelogramo. El área de un paralelogramo se expresa por la fórmula A= bh, donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del paralelogramo.
Área de un triángulo. El área de un triángulo se expresa por la fórmula A= bh/2
donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del triángulo.
Área de un trapecio. El área de un trapecio se expresa por la fórmula A= (b1 + b2)h/2
donde A es el área, b1 y b2 son las longitudes de las dos bases, y h es la altura del trapecio.
Si dos cuerdas de una circunferencia son iguales, entonces determinan dos ángulos centrales iguales.
La perpendicular que va del centro de una circunferencia a una cuerda, pasa por el punto medio de ésta; es decir, es la mediatriz de la cuerda.
Dos cuerdas iguales de una circunferencia son equidistantes desde el centro de la circunferencia. Es decir, las distancias entre las cuerdas y el centro son iguales.
La tangente a una circunferencia es una recta en el plano de la circunferencia que intersecta a la circunferencia exactamente en un punto. El punto en el que la tangente toca a la circunferencia se llama punto de tangencia.
La tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado del centro hasta el punto de tangencia.
Propiedad de los segmentos tangentes: Los segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto fuera de la circunferencia, son iguales.
Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente.
La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama centro de la circunferencia.
El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia. La circunferencia es una línea y el círculo una región.
SEGMENTOS:
Cuerdaes un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Radioes el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
RECTAS:
Tangente es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto se llama punto de tangencia. Secante es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Arco es una parte de la circunferencia. Semicircunferenciaes un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia. Arco menor es aquel que mide menos que una semicircunferencia. Arco mayor es aquel que mide más que una semicircunferencia.
Los arcos mayores y la semicircunferencia se denotan con tres puntos que son: sus dos extremos y un punto entre ellos. Para denotar arcos menores, es suficiente usar las dos letras de sus puntos extremos.
Ángulo central es aquel que está formado por dos radios. Los ángulos centrales tienen su vértice en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes de la circunferencia.
Ángulo semiinscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es secante y el otro es tangente.
Un ángulo central separa a la circunferencia en dos arcos, uno menor y el otro mayor. Los arcos se miden por sus correspondientes ángulos centrales. Las medidas en grados se asignan a los arcos según las siguientes indicaciones:
La medida en grados de un arco menor es la medida de su ángulo central. La medida en grados de un arco mayor es 360° menos la medida de su ángulo central. La medida en grados de una circunferencia es 360°. La medida en grado de una semicircunferencia es 180°.
También se puede usar la medida del ángulo central para determinar la longitud del arco. La longitud del arco es diferente de la medida en grados de un arco. La longitud del arco es su distancia lineal. Para determinar la longitud de un arco puede considerarse que dicha longitud es la parte de la circunferencia proporcional a la medida del ángulo central comparada con la circunferencia completa cuya medida es 360° y cuya longitud es 2πr
Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases. Un par de ángulos que comparten una base como lado común se llaman ángulos de la base.
Un trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados no paralelos son de la misma longitud.
Propiedad de los ángulos consecutivos de un trapecio: los ángulos consecutivos que están entre las bases de un trapecio son suplementarios.
Propiedad del trapecio isósceles: los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales.
Rombos, rectángulos y cuadrados todos son paralelogramos. Por lo tanto, todas las
propiedades de los paralelogramos que se descubrieron en la lección anterior también se aplican a esas otras formas. Pero, debido a que estos paralelogramos especiales tienen características particulares, también cumplen con propiedades particulares.
Recuerda que un rombo es un paralelogramo con cuatro lados congruentes o iguales. En otras palabras un rombo es un paralelogramo equilátero.
Puesto que los rombos son paralelogramos y las diagonales de un paralelogramo se bisecan una a otra, las diagonales de los rombos también se bisecan una a otra.
Propiedad de las diagonales de un rombo: las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí; además, se bisecan entre sí.
Propiedad de los ángulos de un rombo: las diagonales de los rombos son bisectrices de los ángulos del rombo.
Recuerda que un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos congruentes o iguales. En otras palabras un rectángulo es un paralelogramo equiángulo.
Puesto que un rectángulo es un paralelogramo, sus diagonales se bisecan. Pero además, un rectángulo tiene una propiedad adicional;
Propiedad de las diagonales de un rectángulo: las diagonales de un rectángulo son iguales.
Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Propiedad de los ángulos opuestos de un paralelogramo:
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
Recuerda que, en un polígono dos ángulos son consecutivos si comparten un lado común.
Propiedad de los ángulos consecutivos de un paralelogramo: Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
Propiedad de los lados opuestos de un paralelogramo: Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
Propiedad de las diagonales de un paralelogramo: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
Con algunas de las propiedades de los paralelogramos se puede estudiar el segmento medio.
El segmento medio de un triángulo, es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados del triángulo. El lado que no interseca al segmento medio se llama tercer lado.
Propiedad de la suma de los ángulos de un polígono: La suma de las medidas de los n
ángulos interiores de un polígono de n-lados es 180° × (n – 2)
La propiedad de la suma de los ángulos de un polígono puede utilizarse para hallar el valor de cada ángulo
interior de un polígono regular. Basta dividir tal suma entre el número de lados.
Ángulo interior de un polígono regular. Cada ángulo de un polígono regular de n lados mide:
180° × (n – 2) / n
Recuerda que un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
Hay distintos tipos de cuadriláteros :
• Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos.
• Un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos.
• Un trapezoide es un cuadrilátero que no tiene algún par de lados opuestos paralelos.
• Un romboide es un paralelogramo sin ningún par de lados adyacentes ni de ángulos consecutivos iguales.
• Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales.
• Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrado es un paralelogramo con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
Un cuadrado es un tipo especial de rombo y un tipo especial de rectángulo, así que el
cuadrado admite otras definiciones. Por ejemplo:
• Un cuadrado es un rombo con cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrado es un rectángulo con cuatro lados iguales.
Ésta otra definición también es posible:
• Un cuadrado es un rombo que también es un rectángulo.
Los polígonos son figuras formadas por segmentos de recta, de tal manera que:
1) Los segmentos se juntan sólo en sus extremos
2) como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto
3) cada segmento toca exactamente a otros dos
Los segmentos que forman el polígonos son sus lados, y sus puntos de unión son sus vértices.
Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos.
Un polígono es convexo si no hay diagonal fuera del polígono. Un polígono es cóncavo si hay una diagonal fuera del polígono.
Un polígono equilátero es un polígono en el que todos sus lados son iguales. Un polígono
equiángulo es un polígono en el que todos sus ángulos son iguales. Un polígono regular es tanto
equilátero como equiángulo, es decir, tiene sus lados y ángulo iguales.
Los polígonos se clasifican por el número de lados:
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