ÁREA Y PERÍMETRO; POLÍGONOS REGULARES, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

El perímetro de un polígono regular es la suma de sus n lados.
P = ℓ + ℓ + … + ℓ = n veces ℓ = nℓ

El centro de un polígono regular es el centro de su circunferencia circunscrita.

Apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular trazado
desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es
la mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono
regular son iguales.

Área de un polígono regular. El área de un polígono regular es igual a perímetro por apotema sobre dos.
En fórmula se expresa como A = Pa/2 , donde A es el área, a la apotema y P es el perímetro.

Ahora, analicemos la longitud de la circunferencia. Es común usar la palabra circunferencia para referirnos en realidad a su longitud. La circunferencia se mide en unidades lineales, tales como centímetros, metros, etc. No obstante, una circunferencia no es recta; cambia constantemente su dirección.

Necesitamos una fórmula para encontrar la longitud de la circunferencia, en términos de longitudes que puedan medirse fácilmente, tales como el radio y el diámetro. La respuesta a esta cuestión, se encuentra con la definición del número phi (π).

El número π, es un número irracional por lo que su parte decimal es infinita y no periódica. Debido a que este número con sus primeros cinco decimales es 3.14159…, se acostumbra usar el siguiente valor para π:

π = 3.1416

Para establecer una fórmula para el área de un círculo, se considera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo son respectivamente los límites de los perímetros y áreas de polígonos regulares inscritos.
Si n → ∞
a → r
P → 2πr

Así, el área de un círculo puede obtenerse reemplazando, en la expresión , los valores 2πr en lugar de P, y r en lugar de a. ésto conduce a: [(2πr)r] / 2 = πr2

ÁREA DE PARALELOGRAMOS, TRIÁNGULOS Y TRAPECIOS

El área de una figura plana es el número de unidades cuadradas que pueden acomodarse de manera que llenen la figura completamente.

Área de un rectángulo. El área de un rectángulo de base b y altura h está dada por la fórmula bh. En un rectángulo, cualquier lado puede llamarse base.
En el caso de un paralelogramo, también cualquier lado puede ser la base. Sin embargo, la altura de un paralelogramo no es necesariamente un lado. Más bien, la altura es la longitud de cualquier segmento con extremo en el lado opuesto a la base y perpendicular a dicha base.

Como las áreas del rectángulo y del paralelogramo son iguales, el área del paralelogramo es base × altura. Esto puede resumirse como sigue:

Área de un paralelogramo. El área de un paralelogramo se expresa por la fórmula A= bh, donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del paralelogramo.

Área de un triángulo. El área de un triángulo se expresa por la fórmula A= bh/2
donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del triángulo.

Área de un trapecio. El área de un trapecio se expresa por la fórmula A= (b1 + b2)h/2
donde A es el área, b1 y b2 son las longitudes de las dos bases, y h es la altura del trapecio.

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS ESPECIALES

Rombos, rectángulos y cuadrados todos son paralelogramos. Por lo tanto, todas las
propiedades de los paralelogramos que se descubrieron en la lección anterior también se aplican a esas otras formas. Pero, debido a que estos paralelogramos especiales tienen características particulares, también cumplen con propiedades particulares.

Recuerda que un rombo es un paralelogramo con cuatro lados congruentes o iguales. En otras palabras un rombo es un paralelogramo equilátero.

Puesto que los rombos son paralelogramos y las diagonales de un paralelogramo se bisecan una a otra, las diagonales de los rombos también se bisecan una a otra.

Propiedad de las diagonales de un rombo: las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí; además, se bisecan entre sí.

Propiedad de los ángulos de un rombo: las diagonales de los rombos son bisectrices de los ángulos del rombo.

Recuerda que un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos congruentes o iguales. En otras palabras un rectángulo es un paralelogramo equiángulo.
Puesto que un rectángulo es un paralelogramo, sus diagonales se bisecan. Pero además, un rectángulo tiene una propiedad adicional;

Propiedad de las diagonales de un rectángulo: las diagonales de un rectángulo son iguales.

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Propiedad de los ángulos opuestos de un paralelogramo:
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

Recuerda que, en un polígono dos ángulos son consecutivos si comparten un lado común.

Propiedad de los ángulos consecutivos de un paralelogramo: Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

Propiedad de los lados opuestos de un paralelogramo: Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

Propiedad de las diagonales de un paralelogramo: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

Con algunas de las propiedades de los paralelogramos se puede estudiar el segmento medio.

El segmento medio de un triángulo, es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados del triángulo. El lado que no interseca al segmento medio se llama tercer lado.

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS: ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES

Propiedad de la suma de los ángulos de un polígono: La suma de las medidas de los n
ángulos interiores de un polígono de n-lados es 180° × (n – 2)

La propiedad de la suma de los ángulos de un polígono puede utilizarse para hallar el valor de cada ángulo
interior de un polígono regular. Basta dividir tal suma entre el número de lados.

Ángulo interior de un polígono regular. Cada ángulo de un polígono regular de n lados mide:
180° × (n – 2) / n

Regular_hexagon_angles poligcuadri

interior-angles-pentagon interior-exterior-angles

CUADRILÁTEROS ESPECIALES

Recuerda que un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Hay distintos tipos de cuadriláteros :

• Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos.
• Un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos.
• Un trapezoide es un cuadrilátero que no tiene algún par de lados opuestos paralelos.

• Un romboide es un paralelogramo sin ningún par de lados adyacentes ni de ángulos consecutivos iguales.
• Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales.
• Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrado es un paralelogramo con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Un cuadrado es un tipo especial de rombo y un tipo especial de rectángulo, así que el
cuadrado admite otras definiciones. Por ejemplo:
• Un cuadrado es un rombo con cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrado es un rectángulo con cuatro lados iguales.
Ésta otra definición también es posible:
• Un cuadrado es un rombo que también es un rectángulo.

POLÍGONOS

Los polígonos son figuras formadas por segmentos de recta, de tal manera que:

1) Los segmentos se juntan sólo en sus extremos

2) como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto

3) cada segmento toca exactamente a otros dos

Los segmentos que forman el polígonos son sus lados, y sus puntos de unión son sus vértices.

Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos.

Un polígono es convexo si no hay diagonal fuera del polígono. Un polígono es cóncavo si hay una diagonal fuera del polígono.

Un polígono equilátero es un polígono en el que todos sus lados son iguales. Un polígono
equiángulo es un polígono en el que todos sus ángulos son iguales. Un polígono regular es tanto
equilátero como equiángulo, es decir, tiene sus lados y ángulo iguales.

Los polígonos se clasifican por el número de lados: