Gráficas de funciones trigonométricas

Graficar la función seno, significa trazar la gráfica correspondiente a la ecuación y = sen x. Recuerda que en ecuaciones como ésta, al sustituir valores de x, se calculan valores correspondientes de y. Es decir, existe una dependencia entre los valores de y y los de x. Es, esencialmente por esta dependencia, que se llama función seno. Cada pareja de valores forman un par ordenado (x, y). Estas parejas ordenadas, se colocan en un plano coordenado cartesiano donde la x será la abscisa y, y la ordenada; posteriormente
unimos estos puntos, con lo cual obtenemos la gráfica de la ecuación, en este caso de y = sen x.

La notación y = sen x, generalmente indica que x está expresada en radianes. Por ello, primeramente debesrecordar que todo ángulo expresado en grados puede convertirse en radianes y viceversa.

Una característica relevante de las funciones trigonométricas, es que sus gráficas consisten de una misma porción o ciclo que se repite periódicamente.

Se llama periodo al tramo del eje x en donde se halla un ciclo de la gráfica. El periodo del seno es 2π, por lo que decimos que la función seno es periódica con periodo 2π.

Teniendo en cuenta las mismas consideraciones anteriores, se puede trazar la gráfica de la función coseno y tangente. Ahora los pares ordenados cumplirán con la ecuación y = cos x ó y= tan x

Al igual que para el seno, el periodo del coseno es 2π;

Recordemos que una característica de las funciones trigonométricas es que sus gráficas consisten de una misma porción o ciclo que se repite periódicamente. Ya vimos que en el caso del seno y del coseno, el tramo que se repite es el definido de 0 a 2π, por lo que su periodo es 2π. Para la tangente el tramo que se repite va de 0 a π.
Entonces el periodo de la tangente es π.

Ecuaciones trigonométricas sencillas

La interpretación de los signos de las funciones trigonométricas, es la clave para resolver ecuaciones trigonométricas.

Función seno: positivo en el 1er y 2 do cuadrante; negativo en 3ro y 4to.
Función coseno: positivo en el 1er y 4to cuadrante; negativo en el 2do y 3ro
Función tangente: positivo en el 1er y 3er cuadrante; negativo en el 2do y 4to.

¿Cuánto vale α si sen α = +0.5736?

Si sen α es positivo, el ángulo α toma dos valores entre 0° y 360°: uno con lado final en el
primer cuadrante y el otro con lado final en el segundo cuadrante.

Procedimiento
Paso 1. Localiza los lados finales. A partir del signo de la función dada, localiza en qué cuadrantes están los lados finales de los ángulos solución. DATO: Sen α = +0.5736

Paso 2. Utiliza la calculadora. Ya sabes que la calculadora proporciona un valor mediante
la siguiente instrucción: [ Shift ] [ sin ] [ 0.5736 ] [=] Así la respuesta es α= 35°

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MAYORES QUE 90° Y NEGATIVOS: REDUCCIÓN DE ÁNGULOS

El ángulo de referencia o ángulo reducido, es el ángulo agudo que forma el lado terminal de un ángulo en posición normal con el eje X de un sistema de coordenadas.

Cálculo de valores de funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Se trata de calcular los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo a partir de su ángulo de referencia (que es un ángulo agudo).

Ángulos con lado final en el 2do cuadrante: Ángulo con lado final en el 2do cuadrante: 150°. Ángulo de referencia: 30°

Ángulos con lado final en el 3er cuadrante: Ángulo con lado final en el 3er cuadrante: 210°. Ángulo de referencia: 30°

Ángulos con lado final en el 4to cuadrante: Ángulo con lado final en el 4to cuadrante: 330°. Ángulo de referencia: 30°

Ángulos con lado final sobre un eje coordenado
Si el lado final del ángulo se encuentra sobre uno de los ejes, las definiciones de las funciones siguen siendo válidas, aunque en algunos casos éstas no estarán definidas debido a que el denominador será cero.

Ahora a partir de las definiciones de las funciones trigonométricas, podemos determinar los valores de éstas para 0°, 90°, 180° y 270°

Para 0°:

Seno= 0, Coseno= 1, Tangente= 0, Cotangente= indefinido, Secante= 1, Cosecante= indefinido.

Para 90°:

Seno= 1, Coseno= 0, Tangente= indefinido, Cotangente= 0, Secante= indefinido, Cosecante= 1.

Para 180°:

Seno= 0, Coseno= -1, Tangente= 0, Cotangente= indefinido, Secante= -1, Cosecante= indefinido.

Para 270°:

Seno= -1, Coseno= 0, Tangente= indefinido, Cotangente= 0, Secante= indefinido, Cosecante= -1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas son funciones que describen relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos y sus ángulos internos.

La razón trigonométrica, tal como ha sido definida, está asociada a un triángulo rectángulo, y por consiguiente, el ángulo que la genera está dentro del rango 0-90º, cosa que no ocurre cuando se maneja el concepto de función. Por otra parte, una razón trigonométrica específica puede interpretarse como un caso de relación entre los lados de un triángulo, en cambio, la función trigonométrica conceptual mente hace un mayor énfasis en la relación de dependencia de las variables, misma que puede ser expresada a través de alguna igualdad relacionada con las razones trigonométricas; integrando así, los dos conceptos básicos: razón trigonométrica y función en uno sólo.

Las funciones recíprocas seno y cosecante, coseno y secante, tangente y cotangente, tienen el mismo signo. Con esta información, sólo necesitamos tener presente que, en cada cuadrante las funciones positivas son las indicadas:

Primer cuadrante: Todas (+)
Segundo cuadrante: Seno (+)
Tercer cuadrante: Tangente (+)
Cuarto cuadrante: Coseno (+)

RADIANES

Consideraremos dos formas de medir un ángulo de rotación:

Medida en grados: es la forma que hemos manejado hasta el momento. Recuerda que la circunferencia de un círculo se divide en 360 partes; por lo tanto, un ángulo de una vuelta mide 360°.
Un ángulo de 1/2 vuelta mide 180°, de 1/4 de vuelta mide 90°, y así sucesivamente.
Un grado es 1/360 del ángulo de una vuelta.
Medida en radianes: un radián es un ángulo que intercepta un arco de igual longitud que el radio del círculo

Para relacionar al radián con el grado, debemos recordar que la longitud de la circunferencia es igual a 2πr.

Así pues, la medida de un ángulo de una vuelta completa de la circunferencia es igual 2π radianes. En una circunferencia hay 2π radianes. Esto es:
2(3.1416) = 6.2832 radianes.

1 radián = 180°/ π = 57.3° 1° = radianes π/ 180°

Para convertir los grados sexagesimales en radianes, es suficiente multiplicar por π/180
Para convertir los radianes en grados, es suficiente multiplicar por 180°/π

Ejemplo
Convertir en radianes:
a) 90°

90° = 90×1°
= 90 ( π/ 180 radianes )
= 90π/ 180 radianes
= radianes 90π/ 90×2
= π/2 radianes

Para calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo expresado en radianes, el procedimiento es idéntico al visto para ángulos expresados en grados sexagesimales. Lo único que debemos cuidar es que la calculadora muestre el modo RAD en vez de DEG.

Por ejemplo, para determinar sen (π/3), primero verificamos que la calculadora muestre RAD y procedemos como se indica:

Sen ( π / 3 ) = 0.8666

ÁNGULOS DE ROTACIÓN

En matemáticas se emplean dos rectas perpendiculares numeradas para elaborar un método de localización de puntos. La recta horizontal se llama eje X o eje de las abscisas; la recta vertical se llama eje Y o eje de las ordenadas.

En general un punto se representa con las coordenadas (x, y). Se empleará la notación P(x, y) para representar al punto P con las coordenadas (x, y). La primera coordenada «x» recibe el nombre de abscisa y la segunda coordenada «y» se denomina ordenada.

El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes numerados en sentido anti-horario. Los signos de cada coordenada para cualquier punto dependerá del cuadrante en donde se encuentre.

12-plano-cartesiano-11-638

Si el rayo se mueve en dirección contraria a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo, si se mueve en el mismo sentido de las manecillas, es negativo.

Ángulo en posición normal y ángulos coterminales

Un ángulo está en posición normal si su vértice es el origen y su lado inicial está sobre la parte positiva del eje X. Puesto que el lado inicial de un ángulo en posición normal está sobre el eje X positivo, entonces el lado final estará en un rayo que une el origen con un punto P (x, y).

Un ángulo entre 0º y 90º, en posición normal tiene su lado final en el primer cuadrante. Un ángulo comprendido entre 0º y 180º tiene su lado final en el segundo cuadrante. Un ángulo comprendido entre 0º y -90º tiene su lado final en el cuarto cuadrante y así sucesivamente.

Una revolución completa tiene una medida de 360º. Cuando la medida de un ángulo es mayor que 360º, el lado en rotación ha completado al menos una revolución. Por ejemplo, un águlo de 400º completa una revolución, quedando finalmente su lado terminal coincidiendo con el de 40º.

Los ángulos que están en posición normal y que coinciden sus lados finales se llaman ángulos coterminales, así, 400º y 40º son coterminales. También 45º y -315º; -25º y 695º son ángulos coterminales.

ÁREA Y PERÍMETRO; POLÍGONOS REGULARES, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

El perímetro de un polígono regular es la suma de sus n lados.
P = ℓ + ℓ + … + ℓ = n veces ℓ = nℓ

El centro de un polígono regular es el centro de su circunferencia circunscrita.

Apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular trazado
desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es
la mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono
regular son iguales.

Área de un polígono regular. El área de un polígono regular es igual a perímetro por apotema sobre dos.
En fórmula se expresa como A = Pa/2 , donde A es el área, a la apotema y P es el perímetro.

Ahora, analicemos la longitud de la circunferencia. Es común usar la palabra circunferencia para referirnos en realidad a su longitud. La circunferencia se mide en unidades lineales, tales como centímetros, metros, etc. No obstante, una circunferencia no es recta; cambia constantemente su dirección.

Necesitamos una fórmula para encontrar la longitud de la circunferencia, en términos de longitudes que puedan medirse fácilmente, tales como el radio y el diámetro. La respuesta a esta cuestión, se encuentra con la definición del número phi (π).

El número π, es un número irracional por lo que su parte decimal es infinita y no periódica. Debido a que este número con sus primeros cinco decimales es 3.14159…, se acostumbra usar el siguiente valor para π:

π = 3.1416

Para establecer una fórmula para el área de un círculo, se considera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo son respectivamente los límites de los perímetros y áreas de polígonos regulares inscritos.
Si n → ∞
a → r
P → 2πr

Así, el área de un círculo puede obtenerse reemplazando, en la expresión , los valores 2πr en lugar de P, y r en lugar de a. ésto conduce a: [(2πr)r] / 2 = πr2

ÁREA DE PARALELOGRAMOS, TRIÁNGULOS Y TRAPECIOS

El área de una figura plana es el número de unidades cuadradas que pueden acomodarse de manera que llenen la figura completamente.

Área de un rectángulo. El área de un rectángulo de base b y altura h está dada por la fórmula bh. En un rectángulo, cualquier lado puede llamarse base.
En el caso de un paralelogramo, también cualquier lado puede ser la base. Sin embargo, la altura de un paralelogramo no es necesariamente un lado. Más bien, la altura es la longitud de cualquier segmento con extremo en el lado opuesto a la base y perpendicular a dicha base.

Como las áreas del rectángulo y del paralelogramo son iguales, el área del paralelogramo es base × altura. Esto puede resumirse como sigue:

Área de un paralelogramo. El área de un paralelogramo se expresa por la fórmula A= bh, donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del paralelogramo.

Área de un triángulo. El área de un triángulo se expresa por la fórmula A= bh/2
donde A es el área, b es la longitud de la base, y h es la altura del triángulo.

Área de un trapecio. El área de un trapecio se expresa por la fórmula A= (b1 + b2)h/2
donde A es el área, b1 y b2 son las longitudes de las dos bases, y h es la altura del trapecio.

PROPIEDADES DE LAS RECTAS Y SEGMENTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Si dos cuerdas de una circunferencia son iguales, entonces determinan dos ángulos centrales iguales.
La perpendicular que va del centro de una circunferencia a una cuerda, pasa por el punto medio de ésta; es decir, es la mediatriz de la cuerda.
Dos cuerdas iguales de una circunferencia son equidistantes desde el centro de la circunferencia. Es decir, las distancias entre las cuerdas y el centro son iguales.

La tangente a una circunferencia es una recta en el plano de la circunferencia que intersecta a la circunferencia exactamente en un punto. El punto en el que la tangente toca a la circunferencia se llama punto de tangencia.

La tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado del centro hasta el punto de tangencia.

Propiedad de los segmentos tangentes: Los segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto fuera de la circunferencia, son iguales.

PROPIEDADES DE ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

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Los ángulos centrales, los ángulos inscritos y los semiinscritos están relacionados.

La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco.
Los ángulos inscritos que cortan el mismo arco son iguales .
Los ángulos inscritos en una circunferencia miden 90°
La medida de un ángulo semiinscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco.
Los ángulos semiinscritos que tienen un lado que contiene a un diámetro miden 90°.

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