FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MAYORES QUE 90° Y NEGATIVOS: REDUCCIÓN DE ÁNGULOS

El ángulo de referencia o ángulo reducido, es el ángulo agudo que forma el lado terminal de un ángulo en posición normal con el eje X de un sistema de coordenadas.

Cálculo de valores de funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Se trata de calcular los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo a partir de su ángulo de referencia (que es un ángulo agudo).

Ángulos con lado final en el 2do cuadrante: Ángulo con lado final en el 2do cuadrante: 150°. Ángulo de referencia: 30°

Ángulos con lado final en el 3er cuadrante: Ángulo con lado final en el 3er cuadrante: 210°. Ángulo de referencia: 30°

Ángulos con lado final en el 4to cuadrante: Ángulo con lado final en el 4to cuadrante: 330°. Ángulo de referencia: 30°

Ángulos con lado final sobre un eje coordenado
Si el lado final del ángulo se encuentra sobre uno de los ejes, las definiciones de las funciones siguen siendo válidas, aunque en algunos casos éstas no estarán definidas debido a que el denominador será cero.

Ahora a partir de las definiciones de las funciones trigonométricas, podemos determinar los valores de éstas para 0°, 90°, 180° y 270°

Para 0°:

Seno= 0, Coseno= 1, Tangente= 0, Cotangente= indefinido, Secante= 1, Cosecante= indefinido.

Para 90°:

Seno= 1, Coseno= 0, Tangente= indefinido, Cotangente= 0, Secante= indefinido, Cosecante= 1.

Para 180°:

Seno= 0, Coseno= -1, Tangente= 0, Cotangente= indefinido, Secante= -1, Cosecante= indefinido.

Para 270°:

Seno= -1, Coseno= 0, Tangente= indefinido, Cotangente= 0, Secante= indefinido, Cosecante= -1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas son funciones que describen relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos y sus ángulos internos.

La razón trigonométrica, tal como ha sido definida, está asociada a un triángulo rectángulo, y por consiguiente, el ángulo que la genera está dentro del rango 0-90º, cosa que no ocurre cuando se maneja el concepto de función. Por otra parte, una razón trigonométrica específica puede interpretarse como un caso de relación entre los lados de un triángulo, en cambio, la función trigonométrica conceptual mente hace un mayor énfasis en la relación de dependencia de las variables, misma que puede ser expresada a través de alguna igualdad relacionada con las razones trigonométricas; integrando así, los dos conceptos básicos: razón trigonométrica y función en uno sólo.

Las funciones recíprocas seno y cosecante, coseno y secante, tangente y cotangente, tienen el mismo signo. Con esta información, sólo necesitamos tener presente que, en cada cuadrante las funciones positivas son las indicadas:

Primer cuadrante: Todas (+)
Segundo cuadrante: Seno (+)
Tercer cuadrante: Tangente (+)
Cuarto cuadrante: Coseno (+)

RADIANES

Consideraremos dos formas de medir un ángulo de rotación:

Medida en grados: es la forma que hemos manejado hasta el momento. Recuerda que la circunferencia de un círculo se divide en 360 partes; por lo tanto, un ángulo de una vuelta mide 360°.
Un ángulo de 1/2 vuelta mide 180°, de 1/4 de vuelta mide 90°, y así sucesivamente.
Un grado es 1/360 del ángulo de una vuelta.
Medida en radianes: un radián es un ángulo que intercepta un arco de igual longitud que el radio del círculo

Para relacionar al radián con el grado, debemos recordar que la longitud de la circunferencia es igual a 2πr.

Así pues, la medida de un ángulo de una vuelta completa de la circunferencia es igual 2π radianes. En una circunferencia hay 2π radianes. Esto es:
2(3.1416) = 6.2832 radianes.

1 radián = 180°/ π = 57.3° 1° = radianes π/ 180°

Para convertir los grados sexagesimales en radianes, es suficiente multiplicar por π/180
Para convertir los radianes en grados, es suficiente multiplicar por 180°/π

Ejemplo
Convertir en radianes:
a) 90°

90° = 90×1°
= 90 ( π/ 180 radianes )
= 90π/ 180 radianes
= radianes 90π/ 90×2
= π/2 radianes

Para calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo expresado en radianes, el procedimiento es idéntico al visto para ángulos expresados en grados sexagesimales. Lo único que debemos cuidar es que la calculadora muestre el modo RAD en vez de DEG.

Por ejemplo, para determinar sen (π/3), primero verificamos que la calculadora muestre RAD y procedemos como se indica:

Sen ( π / 3 ) = 0.8666

ÁNGULOS DE ROTACIÓN

En matemáticas se emplean dos rectas perpendiculares numeradas para elaborar un método de localización de puntos. La recta horizontal se llama eje X o eje de las abscisas; la recta vertical se llama eje Y o eje de las ordenadas.

En general un punto se representa con las coordenadas (x, y). Se empleará la notación P(x, y) para representar al punto P con las coordenadas (x, y). La primera coordenada «x» recibe el nombre de abscisa y la segunda coordenada «y» se denomina ordenada.

El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes numerados en sentido anti-horario. Los signos de cada coordenada para cualquier punto dependerá del cuadrante en donde se encuentre.

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Si el rayo se mueve en dirección contraria a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo, si se mueve en el mismo sentido de las manecillas, es negativo.

Ángulo en posición normal y ángulos coterminales

Un ángulo está en posición normal si su vértice es el origen y su lado inicial está sobre la parte positiva del eje X. Puesto que el lado inicial de un ángulo en posición normal está sobre el eje X positivo, entonces el lado final estará en un rayo que une el origen con un punto P (x, y).

Un ángulo entre 0º y 90º, en posición normal tiene su lado final en el primer cuadrante. Un ángulo comprendido entre 0º y 180º tiene su lado final en el segundo cuadrante. Un ángulo comprendido entre 0º y -90º tiene su lado final en el cuarto cuadrante y así sucesivamente.

Una revolución completa tiene una medida de 360º. Cuando la medida de un ángulo es mayor que 360º, el lado en rotación ha completado al menos una revolución. Por ejemplo, un águlo de 400º completa una revolución, quedando finalmente su lado terminal coincidiendo con el de 40º.

Los ángulos que están en posición normal y que coinciden sus lados finales se llaman ángulos coterminales, así, 400º y 40º son coterminales. También 45º y -315º; -25º y 695º son ángulos coterminales.

PROPIEDADES DE LAS RECTAS Y SEGMENTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Si dos cuerdas de una circunferencia son iguales, entonces determinan dos ángulos centrales iguales.
La perpendicular que va del centro de una circunferencia a una cuerda, pasa por el punto medio de ésta; es decir, es la mediatriz de la cuerda.
Dos cuerdas iguales de una circunferencia son equidistantes desde el centro de la circunferencia. Es decir, las distancias entre las cuerdas y el centro son iguales.

La tangente a una circunferencia es una recta en el plano de la circunferencia que intersecta a la circunferencia exactamente en un punto. El punto en el que la tangente toca a la circunferencia se llama punto de tangencia.

La tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado del centro hasta el punto de tangencia.

Propiedad de los segmentos tangentes: Los segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto fuera de la circunferencia, son iguales.

PROPIEDADES DE ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

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Los ángulos centrales, los ángulos inscritos y los semiinscritos están relacionados.

La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco.
Los ángulos inscritos que cortan el mismo arco son iguales .
Los ángulos inscritos en una circunferencia miden 90°
La medida de un ángulo semiinscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco.
Los ángulos semiinscritos que tienen un lado que contiene a un diámetro miden 90°.

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CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO; ÁNGULOS ASOCIADOS A UNA CIRCUNFERENCIA

Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente.

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama centro de la circunferencia.

El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia. La circunferencia
es una línea y el círculo una región.

SEGMENTOS:

Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

RECTAS:

Tangente es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto se llama punto de tangencia.
Secante es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Arco es una parte de la circunferencia.
Semicircunferencia es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.
Arco menor es aquel que mide menos que una semicircunferencia.
Arco mayor es aquel que mide más que una semicircunferencia.

Los arcos mayores y la semicircunferencia se denotan con tres puntos que son: sus dos extremos y un punto entre ellos. Para denotar arcos menores, es suficiente usar las dos letras de sus puntos extremos.

Ángulo central es aquel que está formado por dos radios. Los ángulos centrales tienen su vértice en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes de la circunferencia.
Ángulo semiinscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es secante y el otro es tangente.

Un ángulo central separa a la circunferencia en dos arcos, uno menor y el otro mayor. Los arcos se miden por sus correspondientes ángulos centrales. Las medidas en grados se asignan a los arcos según las siguientes indicaciones:

La medida en grados de un arco menor es la medida de su ángulo central. La medida en grados de un arco mayor es 360° menos la medida de su ángulo central. La medida en grados de una circunferencia es 360°. La medida en grado de una semicircunferencia es 180°.

También se puede usar la medida del ángulo central para determinar la longitud del arco. La longitud del arco es diferente de la medida en grados de un arco. La longitud del arco es su distancia lineal. Para determinar la longitud de un arco puede considerarse que dicha longitud es la parte de la circunferencia proporcional a la medida del ángulo central comparada con la circunferencia completa cuya medida es
360° y cuya longitud es 2πr

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS: ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES

Propiedad de la suma de los ángulos de un polígono: La suma de las medidas de los n
ángulos interiores de un polígono de n-lados es 180° × (n – 2)

La propiedad de la suma de los ángulos de un polígono puede utilizarse para hallar el valor de cada ángulo
interior de un polígono regular. Basta dividir tal suma entre el número de lados.

Ángulo interior de un polígono regular. Cada ángulo de un polígono regular de n lados mide:
180° × (n – 2) / n

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