ÁREA Y PERÍMETRO; POLÍGONOS REGULARES, CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

El perímetro de un polígono regular es la suma de sus n lados.
P = ℓ + ℓ + … + ℓ = n veces ℓ = nℓ

El centro de un polígono regular es el centro de su circunferencia circunscrita.

Apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular trazado
desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es
la mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono
regular son iguales.

Área de un polígono regular. El área de un polígono regular es igual a perímetro por apotema sobre dos.
En fórmula se expresa como A = Pa/2 , donde A es el área, a la apotema y P es el perímetro.

Ahora, analicemos la longitud de la circunferencia. Es común usar la palabra circunferencia para referirnos en realidad a su longitud. La circunferencia se mide en unidades lineales, tales como centímetros, metros, etc. No obstante, una circunferencia no es recta; cambia constantemente su dirección.

Necesitamos una fórmula para encontrar la longitud de la circunferencia, en términos de longitudes que puedan medirse fácilmente, tales como el radio y el diámetro. La respuesta a esta cuestión, se encuentra con la definición del número phi (π).

El número π, es un número irracional por lo que su parte decimal es infinita y no periódica. Debido a que este número con sus primeros cinco decimales es 3.14159…, se acostumbra usar el siguiente valor para π:

π = 3.1416

Para establecer una fórmula para el área de un círculo, se considera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo son respectivamente los límites de los perímetros y áreas de polígonos regulares inscritos.
Si n → ∞
a → r
P → 2πr

Así, el área de un círculo puede obtenerse reemplazando, en la expresión , los valores 2πr en lugar de P, y r en lugar de a. ésto conduce a: [(2πr)r] / 2 = πr2

PROPIEDADES DE LAS RECTAS Y SEGMENTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Si dos cuerdas de una circunferencia son iguales, entonces determinan dos ángulos centrales iguales.
La perpendicular que va del centro de una circunferencia a una cuerda, pasa por el punto medio de ésta; es decir, es la mediatriz de la cuerda.
Dos cuerdas iguales de una circunferencia son equidistantes desde el centro de la circunferencia. Es decir, las distancias entre las cuerdas y el centro son iguales.

La tangente a una circunferencia es una recta en el plano de la circunferencia que intersecta a la circunferencia exactamente en un punto. El punto en el que la tangente toca a la circunferencia se llama punto de tangencia.

La tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado del centro hasta el punto de tangencia.

Propiedad de los segmentos tangentes: Los segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto fuera de la circunferencia, son iguales.

PROPIEDADES DE ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

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Los ángulos centrales, los ángulos inscritos y los semiinscritos están relacionados.

La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco.
Los ángulos inscritos que cortan el mismo arco son iguales .
Los ángulos inscritos en una circunferencia miden 90°
La medida de un ángulo semiinscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco.
Los ángulos semiinscritos que tienen un lado que contiene a un diámetro miden 90°.

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CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO; ÁNGULOS ASOCIADOS A UNA CIRCUNFERENCIA

Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente.

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama centro de la circunferencia.

El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia. La circunferencia
es una línea y el círculo una región.

SEGMENTOS:

Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

RECTAS:

Tangente es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto se llama punto de tangencia.
Secante es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Arco es una parte de la circunferencia.
Semicircunferencia es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.
Arco menor es aquel que mide menos que una semicircunferencia.
Arco mayor es aquel que mide más que una semicircunferencia.

Los arcos mayores y la semicircunferencia se denotan con tres puntos que son: sus dos extremos y un punto entre ellos. Para denotar arcos menores, es suficiente usar las dos letras de sus puntos extremos.

Ángulo central es aquel que está formado por dos radios. Los ángulos centrales tienen su vértice en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes de la circunferencia.
Ángulo semiinscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es secante y el otro es tangente.

Un ángulo central separa a la circunferencia en dos arcos, uno menor y el otro mayor. Los arcos se miden por sus correspondientes ángulos centrales. Las medidas en grados se asignan a los arcos según las siguientes indicaciones:

La medida en grados de un arco menor es la medida de su ángulo central. La medida en grados de un arco mayor es 360° menos la medida de su ángulo central. La medida en grados de una circunferencia es 360°. La medida en grado de una semicircunferencia es 180°.

También se puede usar la medida del ángulo central para determinar la longitud del arco. La longitud del arco es diferente de la medida en grados de un arco. La longitud del arco es su distancia lineal. Para determinar la longitud de un arco puede considerarse que dicha longitud es la parte de la circunferencia proporcional a la medida del ángulo central comparada con la circunferencia completa cuya medida es
360° y cuya longitud es 2πr