Cuando un triángulo no es rectángulo se dice que es oblicuángulo. En esta lección se estudiarán dos propiedades que nos permitirán resolver cualquier tipo de triángulos. Estas propiedades se llaman Ley de los senos y Ley de los cosenos.

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces  .

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ley de los cosenos

Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

 

 

Al sustituir los cocientes por las razones trigonométricas correspondientes se obtiene:

• sen(α + β) = sen αcos β + cos αsen β, O bien: sen(α + β) = sen αcos β + sen β cos α
• cos(α + β) = cos αcos β – sen α β sen β
• tan(α + β) = tan α + tan β/ 1 – sen α sen β

Nota: Si la suma de los ángulos α y β es mayor que 90°, la identidad anterior sigue siendo válida.

Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para todos los valores posibles del argumento (en nuestro caso, para todos los valores posibles que puede tomar el ángulo). Entendemos por valores posibles aquellos para los cuales sí están definidas las razones trigonométricas.

Ejemplo
sec x = 1/ cos x es una identidad trigonométrica válida para todos los valores de x exceptuando algunos valores, por ejemplo x no puede valer 90°, porque cos 90° = 0, y la división por cero no está permitida.
Algunas identidades fundamentales, se analizan a continuación:

Relación entre el seno y la cosecante …………………………………… sen A.csc A = 1
Relación entre el coseno y la secante …………………………………… cos A.sec A = 1
Relación entre la tangente y la cotangente ………………………….. tan A.cot A = 1

Éstas son unas de las identidades fundamentales denominadas recíprocas.
Las identidades por cociente:

• tan α = Sen  α/ Cos α,  cos α ≠ 0
• cot α = Cos α/ Sen α,  sen α ≠ 0

Es importante darse cuenta, de que no es lo mismo sen α2 que sen2α; en el primer caso estamos elevando el ángulo α al cuadrado y en el segundo estamos elevando al cuadrado al seno del ángulo α.

Para el trabajo con identidades, debemos dominar de memoria las ocho identidades básicas.

Los métodos para demostración o verificación de identidades consiste en trabajar el lado izquierdo de la identidad hasta que finalmente quede reducido al de la derecha, o al revés, según sea conveniente.

Veamos primeramente un ejemplo algebraico.
Demostrar que: x(x + 2)2 = x3 + 4×2 + 4x

Desarrollando el lado izquierdo:
x(x + 2)2 = x(x2 + 4x + 4)                             Regla del binomio al cuadrado
= x3 + 4×2 – 4x                                               Propiedad distributiva

Hemos demostrado que el lado izquierdo es igual al lado derecho.